一、常识重心
同余这个认识率先是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的界说是这么的：
两个整数a，b，若是它们除以归并当然数m所得的尾数思同，则称a，b关于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读作念：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有沟通的尾数2，这时咱们就说，关于除数5，12和47同余，记作念12≡47（mod 5）。
同余的性质比拟多，主要有以下一些：
性质（1）：关于归并个除数，两个数之和（或差）与它们的尾数之和（或差）同余。比如：32除以5尾数是2，19除以5尾数是4，两个尾数的和是2+4=6。“32+19”除以5的尾数就恰好等于它们的尾数和6除以5的尾数。也即是说，关于除数5，“32+19”与它们的尾数和“2+4”同余，用记号示意即是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）
性质（2）：关于归并个除数，两个数的乘积与它们尾数的乘积同余。
性质（3）：关于归并个除数，若是有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：关于归并个除数，若是两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的重要是要在正确相识的基础上生动专揽同余性质。把求一个较大的数除以某数的尾数问题转化为求一个较小的数除以这个数的尾数，使复杂的题变苟简，使转折的题变容易。
二、精讲能够
【例题1】求1992×59除以7的尾数。
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的尾数的乘积，使计较简化。1992除以7余4，59除以7余3。凭据同余性质，“4×3”除以7的尾数与“1992×59”除以7的尾数应该是沟通的，通过求“4×3”除以7的尾数就可知谈1992×59除以7的尾数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）
是以1992×59除以7的尾数是5。
熟悉1：
1、求4217×364除以6的尾数。
2、求1339655×12除以13的尾数。
3、求879×4376×5283除以11的尾数。
【例题2】已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？
一星期有7天，条目2010年的国庆节是星期几，就条目从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的尾数就行了。但在甲酸中，若是咱们能充分利用同余性质，就不错不消算出这个总天数。
2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）
答：2010年的国庆节是星期五。
熟悉2：
1、已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？
2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期几？
3、今天是星期四，再过365的15次方是星期几？
【例题3】求2001的2003次方除以13的尾数。
2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。凭据同余性质（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，条目它的尾数比拟转折。这时的重要即是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经考试可知12的正常≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。是以（12的正常）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。凭据同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）
因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）
12的正常≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1
12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）
是以2001的2003次方除以13的尾数是12。
熟悉3：
1、求12的200次方除以13的尾数。
2、求3的92次方除以21余几。
3、9个小一又友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平平分给他们，临了剩下几粒？
【例题4】当然数16520，14903，14177除以m的尾数沟通，m最大是若干？
当然数16520，14903，14177除以m的尾数沟通，换句话说即是16520≡14903≡14177（mod m）。凭据同余性质（3），这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。条目m最大是若干，即是求它们差的最大条约数是若干？
因为16520—14903=1617=3×7的正常×11
16520—14177=2343=3×11×71
14903—14177=726=2×3×11的正常
M是这些差的条约数，m最大是3×11=33。
熟悉4：
1、若2836、4582、5164、6522四个整数齐被归并个两位数相除，所得的尾数沟通。除数是若干？
2、一个整数除226、192、141齐得回沟通的尾数，且尾数不为0，这个整数是几？
3、当1991和1769除以某一个当然数m时，尾数隔离为2和1，那么m最小是若干？
【例题5】某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？
咱们可从较大的除数运行尝试。伊始筹议与1模8同余的数，9≡1（mod 8），但9输以7尾数不是5，是以某数不是9。17≡1（mod 8），17除以7的尾数也不是5。25≡1（mod 8），25除以7的尾数也不是5。33≡1（mod 8），33除以7的尾数无意是5，况且33除以6尾数无意是3，是以这个数最小是33。上头的规律骨子是一种列举法，也不错简化为底下的体式：
被8除余1的数有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除余5的数有：33，89，……这些数中被6除余3的数最小是33。
熟悉5：
1、某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。这个数最小是几？
2、某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。
3、在一个圆圈上有几十个孔（如图38-1），小明像玩跳棋那样从A孔起程沿逆时针标的每隔几个孔跳一步，但愿一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，也只可跳到B孔。临了他每隔6孔跳一步，无意跳回A孔。问：这个圆圈上共有若干个孔？
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